RELASI

RELASI

A.    Definisi Relasi

Relasi adalah hubungan antara elemen-elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan anatara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkaliab kartesian.

Contoh:

A = {1,2,3}          B = {a,b}

A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2b),(3,a),(3,b)}

B.     Representasi Relasi

1.      Tabel

Jika relasi disajikan dengan table maka kolom pertama menyatakan daerah asal dan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

Contoh : untuk relasi pada contoh diatas no.2 dan 3

 Tabel 1.

      Tabel 2. 

2.      Matriks

Misal R adalah relasi dari A = { a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],

3.      Pemetaan

Kolom pertama  tabel  menyatakan  daerah  asal,  sedangkan kolom  kedua menyatakan daerah hasil.

4.      Graf

Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph). Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur. Jika (a, b) ∈ R maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal dan simpul b disebut simpul tujuan. Pasangan (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a  ke simpul a sendiri.

Misalkan: R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),(d,b)} adalah relasi pada himpunan {a,b,c,d}.

R direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

C.    Sifat Relasi Biner 
Relasi   biner   yang   didefinisikan    pada   sebuah   himpunan mempunyai beberapa sifat:

1.      Reflektif

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)  ∈ R untuk setiap a ∈ A. Contoh: Misal A = {1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka

a)      R  =  {(1,1),(1,3), (2,1), (2,2), (3,3),(4,2), (4,3),(4,4)} bersifat refleksif.

b)      R = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bukan relasi reflektif karena (3,3) ∉ R.

2.      Simetris

Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika (a,b) ∈ R maka (b,a) ∈ R untuk a,b ∈ A.

Contoh:

R = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,3),(4,2), (4,3),(4,4)}

3.      Transitif

Relasi R pada himpunan A disebut Transitif jika (a,b)  ∈  R dan (b,c) ∈ R maka (a,c) ∈ R untuk setiap a,b,c ∈ A.

Contoh:

a)      R = {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}

b)      Relasi habis dibagi pada bilangan bulat positif.

Daftar Pustaka:

http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/KHUSNUL_NOVIANIGSIH/RELASI_DAN_FUNGSI.pdf

http://eprints.dinus.ac.id/6334/1/BAB_3_RELASI.pdf